A Hybrid Legendre Polynomial–Physics-Informed Neural Network for Predicting Solutions of Laplace's Equation in Spherical Coordinates
DOI:
https://doi.org/10.65405/g5xzrg19الكلمات المفتاحية:
حدوديات لجندر؛ التوافقيات الكروية؛ معادلة لابلاس؛ الشبكات العصبية؛ المعادلات التفاضلية الجزئية؛ التقريب العددي؛ الرياضيات التطبيقيةالملخص
تعد مسائل القيم الحدية لمعادلة لابلاس في المجالات الكروية والقشرية من المسائل الأساسية في الرياضيات التطبيقية ونظرية المعادلات التفاضلية الجزئية، وتمثل حلولها التحليلية تقليديًا باستخدام التوافقيات الكروية المبنية على دوال لجندر المرتبطة، وذلك عبر فصل المتغيرات في الإحداثيات الكروية. تهدف هذه الورقة إلى دراسة أثر دمج هذا التمثيل الرياضي التحليلي المعروف مباشرة داخل نموذج تقريب عددي قائم على الشبكات العصبية المستنيرة بالمعادلات الحاكمة (Physics-Informed Neural Networks, PINNs)، بدلًا من الاعتماد على شبكة عامة لا تستغل البنية الزاوية التحليلية للمؤثر اللابلاسي. تقترح الورقة إطارًا هجينًا تتعلم فيه شبكة عصبية مدمجة فقط المعاملات الشعاعية (r) ضمن متسلسلة كروية توافقية مقطوعة عند أقصى درجة L، بينما يشتق الاعتماد الزاوي تحليليًا من التوافقيات الكروية (θ,φ)، بما يختزل معادلة لابلاس إلى معادلة تفاضلية عادية شعاعية أحادية البعد لكل نمط. جرِب النموذج المقترح وقورن بشبكة PINNs قياسية على مسألة قيمة حدية مرجعية على قشرة كروية ذات حل تحليلي معروف، باستخدام مقاييس الخطأ التربيعي الجذري المتوسط (RMSE) والخطأ المطلق المتوسط (MAE) والخطأ النسبي ومعامل التحديد ، إلى جانب دراسات حذف لأثر أقصى درجة كروية توافقية وعدد نقاط التجميع وسعة الشبكة. أظهرت النتائج الفعلية دقة تنبؤية متقاربة بين النموذجين، إذ كانت الشبكة القياسية أدق بقليل في الإعداد الأساسي، بينما تفوَّق النموذج المقترح بوضوح في زمن التدريب وفي حالات السعة الحاسوبية المنخفضة. وتوفر المعاملات الشعاعية المتعلمة تفسيرًا عدديًا مباشرًا لإسهام كل نمط كروي توافقي في الحل.
التنزيلات
المراجع
[1] M. Raissi, P. Perdikaris, and G. E. Karniadakis, "Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations," J. Comput. Phys., vol. 378, pp. 686-707, 2019, doi: 10.1016/j.jcp.2018.10.045.
[2] Z. Ren, S. Zhou, D. Liu, and Q. Liu, "Physics-informed neural networks: A review of methodological evolution, theoretical foundations, and interdisciplinary frontiers toward next-generation scientific computing," Appl. Sci., vol. 15, no. 14, art. 8092, 2025, doi: 10.3390/app15148092.
[3] C. Meng, S. Griesemer, D. Cao, S. Seo, and Y. Liu, "When physics meets machine learning: A survey of physics-informed machine learning," Mach. Learn. Comput. Sci. Eng., vol. 1, art. 20, 2025, doi: 10.1007/s44379-025-00016-0.
[4] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed. Waltham, MA, USA: Academic Press, 2013.
[5] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed. New York, NY, USA: Wiley, 1998.
[6] I. M. Mohamed, "Legendre polynomials and spherical harmonics with their applications," M.Sc. thesis, Basic Sciences School, Dept. of Mathematics, Applied Mathematics Div., The Libyan Academy, Tripoli, Libya, 2019.
[7] G. Lei, Z. Lei, L. Shi, C. Zeng, and D.-X. Zhou, "Solving PDEs on spheres with physics-informed convolutional neural networks," Appl. Comput. Harmon. Anal., vol. 74, art. 101714, 2025, doi: 10.1016/j.acha.2024.101714.
[8] B. Bonev, T. Kurth, C. Hundt, J. Pathak, M. Baust, K. Kashinath, and A. Anandkumar, "Spherical Fourier neural operators: Learning stable dynamics on the sphere," in Proc. 40th Int. Conf. Machine Learning (ICML), Honolulu, HI, USA, 2023, arXiv:2306.03838.
[9] W. Zhong and H. Meidani, "Physics-informed geometry-aware neural operator," Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 434, art. 117540, 2025, doi: 10.1016/j.cma.2024.117540.
[10] M. Rußwurm, K. Klemmer, E. Rolf, R. Zbinden, and D. Tuia, "Geographic location encoding with spherical harmonics and sinusoidal representation networks," in Proc. Int. Conf. Learning Representations (ICLR), Vienna, Austria, 2024, arXiv:2310.06743.
[11] T. Hendriks, A. Vilanova, and M. Chamberland, "Neural spherical harmonics for structurally coherent continuous representation of diffusion MRI signal," in Proc. Computational Diffusion MRI Workshop (MICCAI), 2023, arXiv:2308.08210.
[12] I. Ali, "Advanced machine learning technique for solving elliptic partial differential equations using Legendre spectral neural networks," Electron. Res. Arch., vol. 33, no. 2, pp. 826-848, 2025, doi: 10.3934/era.2025037.
[13] Z. Hao, M. Park, and Z. Cai, "Neural network method for integral fractional Laplace equations," East Asian J. Appl. Math., vol. 13, no. 1, pp. 95-118, 2023, doi: 10.4208/eajam.010122.210722.
[14] المجلة الشاملة للعلوم. (2025). An Experimental Study on Submerged AWJ Turning and its Influence on castamide Machining. مجلة العلوم الشاملة, 10(37), 880-894.
[15] المجلة الشاملة للعلوم. (2025). Diagnoses Breast Cancer Disease by Using fuzzy artmap. مجلة العلوم الشاملة, 10(37), 3126-3132.
[16] Abousetta, M., & Khalfalla, M. (2026). Finite Element Modeling of Two-Dimensional Electromagnetic Scattering from a Dielectric Cylinder Using Perfectly Matched Layers (PML). مجلة العلوم الشاملة, 10(ملحق 39), 1012-1017.
