تحليل كفاءة وتقارب الخوارزميات العددية لحل النظم الخطية
DOI:
https://doi.org/10.65405/9yyt5n66الكلمات المفتاحية:
النظم الخطية، الخوارزميات العددية، التقارب، الحذف الغاوسي، التدرج المترافق، إعادة التشكيل.الملخص
تهدف هذه الدراسة إلى تحليل أداء الخوارزميات العددية الشائعة لحل النظم الخطية، مع التركيز على تقارب هذه الخوارزميات والعوامل المؤثرة عليه. تم استعراض ومقارنة الخوارزميات المباشرة (الحذف الغاوسي وطريقة التفكيك الثلاثي) والخوارزميات التكرارية (طريقة جاكوبي جاوس-سايدل ، والتدرج المترافق).
شملت المنهجية تصميم واختبار نظم خطية بمصفوفات ذات أحجام وخصائص مختلفة، حيث تم قياس عدد التكرارات، زمن التنفيذ، ومعيار الخطأ لتقييم أداء الخوارزميات. أظهرت النتائج أن الطرق المباشرة تناسب النظم الصغيرة والمتوسطة الحجم، حيث توفر دقة عالية مع زمن تنفيذ معقول. بالمقابل، أثبتت الطرق التكرارية فعاليتها في النظم الكبيرة وقليلة الكثافة، مع تفوق طريقة التدرج المترافق في سرعة التقارب وكفاءة الأداء.
تناولت الدراسة أيضًا العوامل المؤثرة على التقارب، مثل شرط التكييف وتوزيع القيم الذاتية واختيار الحل الأولي. أكدت النتائج أن استخدام تقنيات مثل إعادة التشكيل (Preconditioning) يُحسن من تقارب الخوارزميات التكرارية بشكل ملحوظ.
تُعد هذه الدراسة مرجعًا مفيدًا لاختيار الخوارزمية المناسبة بناءً على خصائص النظام وحجمه، وتقدم توصيات عملية لتحسين الأداء العددي. كما تدعو إلى مزيد من البحث في تطوير خوارزميات جديدة واستخدام تقنيات حديثة مثل الذكاء الاصطناعي لتحسين كفاءة الحلول العددية.
التنزيلات
المراجع
1. Ayesh, A., & Almahdawi, A. (2024). Evaluate the Efficiency of Techniques for Solving Systems of Linear Algebraic Equations in the Context of Distributed Information Processing Through the Utilization of Simulation. Journal of Distributed Systems, 5, 282–285.
2. Cullen, C. G. (2012). Matrices and linear transformations. Courier Corporation.
3. Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations. Johns Hopkins University Press.
4. Hasanov, V. (2024). Iterative Methods for Solving a Linear Matrix Equation. Annual of Konstantin Preslavsky University of Shumen, Faculty of Mathematics and Informatics, XXV C, 3–14. https://doi.org/10.46687/VZHP2021
5. Ipsen, I. C. F. (2009). Numerical matrix analysis: Linear systems and least squares. Society for Industrial and Applied Mathematics.
6. Kishore Kumar, N., & Schneider, J. (2017). Literature survey on low rank approximation of matrices. Linear and Multilinear Algebra, 65(11), 2212–2244.
7. Kendell Atkinson, An introduction to Numerical Analysis,Wiley, 1989.
8. Tariq Alnnale. (2026).Predictive Governance in Digital Enterprises: An LSTM-Enhanced Deep Learning Framework for Economic Optimization of IT Incident Management Using Enriched Process Logs.DOI: https://doi.org/10.65405/dctw1z34.
9. Khosravi Dehdezi, E. (2024). Iterative Methods for Sparse Symmetric Multilinear Systems. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 50. https://doi.org/10.1007/s41980-024-00875-y
10. Lay, D. C. (2003). Linear algebra and its applications. Pearson Education India.
11. Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Numerical Analysis, Brooks/Cole, 2011.
12. Saad, Y. (2003). Iterative methods for sparse linear systems. Society for Industrial and Applied Mathematics.
13. Sarlos, T. (2006, October). Improved approximation algorithms for large matrices via random projections. In 2006 47th annual IEEE symposium on foundations of computer science (FOCS'06) (pp. 143–152). IEEE.
14. Schneider, H., & Barker, G. P. (1989). Matrices and linear algebra. Courier Corporation.
15. Stoll, R. R. (2013). Linear algebra and matrix theory. Courier Corporation.
16. Strang, G. (2006). Linear algebra and its applications. Thomson Learning.
17. Zhang, Y., Li, M., & Liu, G. (2018). A Fourier Transform Analysis of Convergence Properties of Multigrid V-Cycle Algorithm. International Journal of Computational Methods, 16, 1844010. https://doi.org/10.1142/S0219876218440103.
