تقصي عددي للاستقرار الطيفي وتوزيع القيم الذاتية في المصفوفات العشوائية غير المتناظرة: نهج الاطياف الزائفة باستخدام برنامج MATLAB
DOI:
https://doi.org/10.65405/az99yp47الكلمات المفتاحية:
المصفوفات العشوائية، الاطياف الزائفة ، قانون الدائرة ، الاستقرار الطيفي ، الجبر الخطي العدديالملخص
تعد نظرية المصفوفات العشوائية (RMT) أداة رياضية جوهرية لنمذجة وفهم سلوك الأنظمة المعقدة في الفيزياء والهندسة . تهدف هذه الورقة الى تقديم استقصاء عددي و تحليلي معمق لتوزيع القيم الذاتية (Eigenvalues) والاستقرار الطيفي في المصفوفات العشوائية غير المتناظرة ، مع التركيز بشكل خاص على التحقق من قانون الدائرة ( Circular Law ) وظاهرة عدم النورمالية ( Non – normality) .
اعتمدت المنهجية البحثية على تطوير اطار عمل حاسوبي عالي الدقة باستخدام بيئة المحاكاة MATLAB ، حيث أجريت عمليات محاكاة على نطاق واسع لمجموعة من المصفوفات ذات ابعاد متدرجة ( N=100 , 400 ,1000 ) لتتبع السلوك الطيفي من تأثيرات الحجم المحدود وصولاً الى حد النهاية العظمى . و لتجاوز قصور التحليل الطيفي التقليدي في كشف الحساسية تجاه الاضطرابات، توظف الدراسة الاطياف الزائفة ( Pseudospectra ) كأداة تشخيصية متقدمة لتحديد مناطق عدم الاستقرار الجبري في المستوى العقدي . اتضح من النتائج وجود تطابقاً وثيقاً بين التوزيع الطيفي التجريبي والتوقعات النظرية لقانون الدائرة، حيث تزداد كثافة القيم الذاتية بانتظام داخل قرص الوحدة مع نمو حجم المصفوفة . كما كشفت تحليلات الاطياف الزائفة عن تعقيدات بنيوية وحساسية طيفية مفرطة داخل قرص الوحدة تزداد حدتها بزيادة ابعاد المصفوفة، مما يثبت ان القيم الذاتية المجردة قد لا توفر صورة كافية عن استقرار النظام . تم تأكيد الموثوقية العددية للنتائج من خلال تدقيق متبقي المعيار ( Residual Norm) الذي حقق مستويات دقة فائقة تلامس حدود صفر الالة ، مما يضمن سلامة الاستنتاجات العلمية المقترحة .
التنزيلات
المراجع
1. Mehta, M. L. (2004). Random Matrices (3rd ed.). Elsevier Academic Press
2. Tao, T., & Vu, V. (2010). Random matrices: Universality of the circular law. The Annals of Probability, 38(5), 2023-2065.
3. Edelman, A., & Rao, N. R. (2005). Random matrix theory. Acta Numerica, 14, 233-297.
4. Higham, N. J. (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2nd ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).
5. Trefethen, L. N., & Embree, M. (2005). Pseudospectra of Linear Operators: Theory and Applications. Princeton University Press.
6. Trefethen, L. N. (1997). Pseudospectra of linear operators. SIAM Review, 39(3), 383-406.
7. Burke, J. V., Lewis, A. S., & Overton, M. L. (2003). Robust stability and a spectral area formula for planar pseudospectra. SIAM Review, 45(4), 805-814.
